Törtek

A törtek egy érdekes dolog. Vannak népek, akik még most se nagyon használják. De ha belegondolunk, legtöbbünk a fél/negyed/háromnegyed törteken kívül nem használ semmit.
Meggyőződésem, hogy a százalékokat is azért vezették be, hogy az emberek törtekkel szemben érzett ellenérzését kijátsszák.
De ettől még a törtek tananyag, megértésük javít a gondolkodásmód rendezettségén. És a polinomoknál meg már nem hanyagolhatjuk el őket.
Hatodikos korosztályig lehet használni a Matific programot. Igazán jól segít a törtfogalom kialakításában.
De nagy segítség még a Geogebra magyarázó ábrái is.
Most utóbbi közül álljon itt néhány:
Egyszerűbb törtek összeadása,
Törtek kivonása, és ami egyértelműen a legjobb: Törtek szorzása törttel. Legyen még itt a biztonság kedvéért a Tizedes törtek közönséges tört alakban:

Előre is bocsánat

Előre is bocsánat mindenkitől. De hát a tizenkettedikesek napi kapcsolatban vannak ezzel...

Képernyő varázslat

Mindig mondom, hogy aki jól odafigyel fizika vagy matek órán, az meg tud gazdagodni (élni).

És néha olyan egyszerű gondolatok húzódnak meg a trükkök hátterében, ami egy felsősnek - vagy megkockáztatom, hogy alsósnak - is már szerepelt matek órán. Vagy simán józan paraszti ésszel rá tud jönni.

És még egy ráadásnak:

Dijkstra algoritmus

Olyan szerencsések, akik a gráfalgoritmusokkal "okos táblán" ismerkednek, vagy csak idetévedtek, ajánlom figyelmükbe a Dijkstra algoritmust. Ez az algoritmus súlyozott élű gráfokban két pont távolsága közötti legrövidebb költségű út algoritmusa.
Elég sok animáció és forráskód található a neten, ezek közül néhányat érdemes megnézni.
Ezen a demon az él hossza adja meg az él értékét. Ezen a másik alkalmazáson is, csak itt rögtön rajzolja ki a piros pötty és a kiválasztott pont közötti legrövidebb utat. És akkor álljon itt néhány gráf, ahol a feladat megtalálni a legrövidebb utat két kiválasztott pont között illetve a minimális költségű feszítőfát.
Aki pedig kedvet kap programozni, az készíthet falakkal tarkított terepen legrövidebb utat kereső programot. A robotika egy feladata ez.

Egyenletek ismétlése - első matek óra

Biztos mindenki úgy gondolja, hogy az első matek órán jó lenne már tanulni, de ismételni meg egyenesen kötelező. Így ha az egyenleteket szeretnénk ismételni, akkor nincs is jobb mód rá, mint egy régebbi posztból vett ötlet alapján az alábbi feladványokat felhasználva. Mi az egyenletek megoldása?

Pitagorasz - újratöltve

A tapasztalható gif hullám magyarázata, hogy a blogjavítás miatt egy-egy érdekesebb gif, kép vagy videó feltöltésére nem volt időm, csak elmentettem egy könyvtárba. Most innen szemezgetek, és töltöm fel az eddig időhiány miatt feltorlódott anyagokat.

Például megdöbbentő, de úgy tűnik ez sem került ide még fel, pedig biztosan mutattam már meg gyerekeknek...

Feuerbach kör és a háromszög egyéb körei

Az előző bejegyzésekben már foglalkoztunk a talpponti háromszög körülírt körével. Már azt is be lehetett látni, hogy ezen a körön rajta van a háromszög összes oldalfelező pontja, és a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszának felezőpontja is. A kör középpontja pedig a magasságpontot (M) a körülírt kör középpontjával (O) összekötő szakasz felezőpontja. Azaz az M-ből a talpponti háromszöget kétszeresére nagyítva megkapjuk a körülírt kört. Tehát a vizsgált kör sugara éppen a körülírt kör sugarának fele. Ezt az izgalmas kört Feuerbach körnek hívják. Vagy hatpontú körnek. Vagy kilenc pont körének. Vagy tizenkét pont körének. Vagy n-pontú körnek.

Úgy tűnik a Feuerbach körnek mindennel van kapcsolata, kivéve a beírt és hozzáírt körökkel. És hol vannak még pontok? És miért pont a beírt kör maradt ki? Ez a diszkonfort érzést rögtön feloldhatjuk, mert a beírt kör sem kakukktojás. Sőt a hozzáírt kör sem. Ugyanis mindkettő érinti a Feuerbach kört. Előbbi belülről, utóbbiak kívülről. Bizonyítást ld később.

A talpponti háromszög

Nagyon sok érdekes dolog derül ki egy háromszög magasságvonalai és az oldal metszéspontjai által meghatározott talppontok által létrejött talpponti háromszögről.
Jó kísérletezgetést!

Kettőhatvány

Egészséges vírusként terjed a 2048 nevű játék a neten. A játék nagyszerűsége pont az egyszerűségében rejlik: az azonos kettő-hatványok összegéből kell felépíteni 2048-at. Szerencsére megvan androidra is.... vigyázat, nagyon könnyű rászokni!
Itt egy videó azoknak, akik szeretnének néhány tippet kapni a sikeresebb játékhoz - én magam még nem néztem meg - csak azoknak ajánlom, akik már a sok sikertelenség után fel akarják adni!

Monthy Hall paradoxon

Amerikában a Let's Make a Deal (Kössünk üzletet) című televíziós vetélkedő utolsó feladata tette híressé, és a műsorvezetőjéről Monthy Hall paradoxonnak neveztek el egy valószínűségi paradoxont.
A műsor - nem ennyire letisztult, de szerencsére jó sok reklámmal futó - magyar változata itthon is látható volt: Rózsa Gyuri vezette, és Zsákbamacska volt a címe. Eredetileg azonban már 1959-ben írt Martin Gardner erről a témáról, a különbség csak annyi volt, hogy ott "három börtönlakó" volt a kerettörténet.
De mi is ez a probléma?

Van három ajtónk. Kettő mögött kecske, egy mögött autó van. Mi választhatunk egy ajtót. A műsorvezető tudja, hogy melyik ajtó mögött mi van, és a két nem választott ajtó közül megmutatja azt, ami mögött a kecske van. Ekkor lehetőségünk van kitartani az eredeti választásunk mellett, vagy pedig változtathatunk rajta, és a másik nem ismert ajtót nyitjuk ki. Melyik a jó stratégia? Maradni, vagy változtatni? 

Az alábbi linken van egy szimuláció, ahol lejátszhatjuk a játékot*. Ha megunjuk, akkor akár 100-szor is lejátssza nekünk a gép. És itt van egy másik oldal, ami igen igényesen mutatja be a problémát, megoldásokkal együtt.
Persze ez a probléma nem paradoxon a paradoxon matematikai értelmében, csak a "józan ész" logikájának mond ellent. Bár ha átgondoljuk, semmi logikátlant nem találunk a magyarázatban....
(A megoldást nem írom le, hogy holnap, vagy kedden tudjunk róla beszélni a szerencsés 11.a-val...)
*: kiderült, hogy csak Explorer alatt megy jól a játék, így Chrome-mal, vagy Firefox-szal ne tessék próbálkozni.

Matekos húsvéti tojás + játék

Ha Húsvét akkor tojás. De mi is lenne idevalóbb, mint  ez a szépen megfestet húsvéti tojás. Idén mondjuk csak csokitojásokkal készültem - erre már nem volt időm, és hétfőig nem is lesz, de talán másnak még kedvet csinál a festéshez.
(A tojást a Flickr-en találtam, PugnoM képe.)
És találtam még egy érdekességet. Van egy hercegnős kindertojásom a megfejtőnek. Mi látható a jobb oldali képen? Hol van és miről híres? A válaszokat kommentben kérem!
Sok csokinyuszit, csokitojást, locsolót és boldog Húsvétot kívánok minden kedves Olvasómnak!

Szemerédi Endre kapta az idei Abel-díjat

Az Abel-díjat 2002-ben alapították. A matematika területén kiemelkedő kutatási eredményt elérő matematikusok kapják. Az elmúlt tíz évben megelőzte rangban a Fields-érmet és a Wolf-díjat. Gyakorlatilag ez lett a Nobel-díj matematikai megfelelője.
Szemerédi Endre 1940-ben született. A legnevezetesebb és nagy port felvert eredménye Erdős és Turán sejtésének bizonyítása: minden pozitív felső sűrűségű sorozat tartalmaz tetszőleges hosszú számtani sorozatot. Ez a tétel azóta az Ő nevét viseli. Ehhez fogalmazta meg és igazolta a regularitási lemmát, ami fontos eszközzé vált a nagy gráfok kutatásában.

Reptéri matek

Gondolom az egyértelmű, hogy a repülés mögött elég erős fizika húzódik meg. De ha jobban belegondolunk a repülőtér irányítása, hogy ne ütközzön össze két gép, hogy a gépek és kiszolgáló járművek a megfelelő útvonalon közlekedjenek, hogy mennyi az elegendő üzemanyag/élelem/innivaló, amivel fel kell tölteni a repülőt, a beléptetési rendszer....egyáltalán: a jegyek megvásárlása mind komoly matematikai számításokat követel.

Például elég ismeretes az a tény, hogy a repülőgép társaságok mindig több jegyet adnak el, mint ahány férőhely van. Ugyanis statisztikailag kimutatható, hogy néhányan soha nem jönnek el. És ha mégis, akkor annak a néhánynak, akinek nem jutott hely, még mindig megéri a sok feleslegesen eladott jegy árából kifizetni a másik repülőjegyet/szállást.
Az Indexen a mai nap arról írtak, hogy a repülőgépbe szállást is nem ártana optimalizálni. Ez mondjuk már bennem is felmerült, csak nem tudom, hogy miért nem én írtam erről cikket?! Mindegy, Jason Steffen megelőzött. Míg mi szenvedünk a beszállással, csomagok elhelyezésével, a gép másik fele üres. Mert jelenleg a légikísérők először a gépek utasterének leghátulra szóló jegyeseit engedik a fedélzetere, majd jön a középmezőny, végül az elöl ülők. Ennél okosabb volna, ha először azokat engednék fel, akiknek ablak mellé szól a jegyük, utána a mellettük ülőket, majd harmadik székre szorulókat. A leggyorsabb megoldás a két módszer sajátos kombinációja lenne - írják - , ez a Steffen-modell. http://www.youtube.com/watch?v=fc1X8VJBfDA&w=500&h=305Lényege, hogy csak minden második üléssorba engednék első körben beszállni az utasokat az ablak mellettiekkel kezdve és hátulról előrefelé haladva. A második eresztésben a kihagyott sorok ablakosai következnének, majd pedig ugyanezzel a sorkihagyásos módszerrel töltenék fel a középső és a harmadik üléseket. Állítólag még az is gyorsabb, ha minden rendezőelv nélkül simán beeresztjük a népet, hadd foglalja el a gépen a helyét.

Ötlet - első matek órára

Az irodalom és a matek találkozása

 Nagyfiamnak Lázár Ervin A Hétfejű Tündér című könyvéből olvasunk már egy jó ideje. A fába szorult hernyó az egyik kedvenc. A nagyfiam ugyanúgy röhécsel, kacarászik, heherészik, hahotázik, mint a róka. És a hőscincérrel ért egyet, hogy nem mindegy, milyen sorrendben állnak egymás hátára. Ha például az eredeti medve-farkas-kecske-róka-borz-nyúl-egér-cincér-katica felállásban a medvét például a legtetejére tesszük, akkor lehet, hogy elérné a fába szorult síró rívó valamit.

Nem tudom, hogy 4 évesen ezt át kell-e már látni, de nem akartam annyiban hagyni. Át is másoltam a könyvben lévő aranyos, Réber László rajzot. Először kiszínezte (azt már tudom, hogy a rajz nem az erőssége), majd én kivágtam, és már lehetett is próbálkozni. Az első próba után rávágta, hogy oké, ezt tényleg nem lehet megcsinálni, de később elővettem (a papírboltban a múlt héten vett) mérőrudas készletet (ugye emlékszel?!), és szín szerint megfeleltettük az állatokat egy rúdnak. A fa a hernyóval két fehér rúd lett. Azért ezzel könnyebb volt "mérni" és jobban is látszott a hossz állandósága.

A nosztalgiázók kedvéért pedig sorba állítva is rámásoltam a képre az első hét rudat, hogy könnyebb legyen felidézni gyerekkorunk kihagyhatatlan kellékét.

UPDATE: már  érti.

Sorozat, ami megjósolja a bolygók helyét

1772-ben Johann Daniel Titius azzal állt elő, hogy van egy egyszerű szabálya, ami megjósolja, hogy hol vannak a bolygók a Naprendszerünkben. Rá 6 évvel Johann Bode pontosította a szabályt. Így  róluk nevezték el az alábbiakat Titius-Bode szabálynak:
Vegyük egy egyszerű mértani sorozatot : (0), 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, ... .Adjunk minden taghoz 4-et. Így kapjuk a 4, 7, 10, 16, 28, 52, 100, 196,.. sorozatot. Csillagászati Egységre (CsE) vannak a bolygók. Ha képletben szeretnénk felírni, akkor az n. bolygó helyzete a Nap-Föld távolság egységében a jobb oldalt látható:

Ez a sorozat megadja, hogy milyen távol keringenek a bolygók a Naphoz képest. Mivel a Föld a harmadik bolygó a Naphoz képest, így legyen a Föld-Nap távolság az egység, és osszuk el az összes számot tízzel. Ekkor azt kapjuk meg, hogy hány Nap-Föld távolságra, azaz

Emlékszem, amikor ezt először hallottam, azt gondoltam, hogy ez valami állati nagy véletlen.
De azért van benne valami, mert Bode megjósolta vele, hogy lesz egy bolygó a Naptól 19,6 CsE-re. Még nevet is javasolt neki: Uránusz. És valóban: 1781-ben William Herschel fel is fedezte az Uránuszt, a Naptól 19,2 CsE távolságra. Alig 2%-ot tévedett a szabály. A Neptunuszt azonban már nem a szabály segítségével találták meg. Ott utóbb kiderült, hogy a szabály közel 30%-os hibával jelezte a bolygó létét. A Neptunuszt végül 1846-ban fedezte fel Galle. Már többen végeztek számításokat, mert kimutatható volt, hogy az Uránusz pályáját egy másik, nagy tömegű égitest - valószínűleg bolygó - megzavarja.
A Mars és a Jupiter közé is jósolt egy bolygót. Nem tévedt ekkor se túl nagyot: ott van a kisbolygó övezet. A hibák +/-5%-on belül vannak. (ld táblázat)
A Titius–Bode-szabályra szilárd elméleti bizonyosság nincs, de valószínűleg a pályarezonancia és szabadságfokok hiányának kombinációjával magyarázható: a stabil pályák bizonyos Naptól mért távolságokra korlátozódnak. Néhány extraszoláris rendszernél felfedeztek 1:3, 2:3, 2:5 arányú rezonancia pályákat, és úgy tűnik, hogy exobolygó-rendszerekre is érvényes lehet a szabály: eddig az öt bolygóval övezett 55 Cancri rendszerében vizsgálták, és a módosított képlet két további bolygót is megjósolt.
Tehát nem érdemes mindig elvetni a kezdetben furának tűnő gondolatokat....

Megéri odafigyelni matek órán

Bár ez tananyag a középiskolában, mégis az MIT matematikusainak jutott eszébe, hogy kijátssza a Massachusetts állambeli Cash Winfall lottójátékot, és ezáltal jelentős nyereményre tegyenek szert.
A játék során 46 számból kell 6-ot kiválasztani. A telitalálat esélye így 46 alatt a 6, azaz 1 a 9366819-hez. Azonban a Cash Winfall lottó hét éve alatt mindössze egyszer volt telitalálatos, és vitték el a kétmillió dolláros jackpotot. A nyereményalap így hétről hétre növekszik. ezért a szervezők azt találták ki, hogy évente négy alkalommal úgynevezett "rolldown week" -et tartanak. amikor az addig halmozódó nyereményt telitalálat híján a kisebb nyertesek között osztják szét. A normál hetekhez képest pont annyival lett több a nyeremény (állítólag kb tízszeres), hogy ekkor már megérte játszani. A nagy számok törvényét kihasználva az eladott szelvények több mint felét a matematikus csapat vette meg, és az összesen 1605 kisebb-nagyobb nyereményből is 1105 az övék lett. Az egyetlen kockázatuk az volt, hogy valaki éppen a pénzes héten talál bele a jackpotba, és elviszi az egész nyereményt. De ez szerencsére (vagy nem szerencsére) nem történt meg.
Jó hír, hogy a Cash Winfall szervezői egyébként nem tervezik a játékszabályok megváltoztatását, indoklásuk szerint azért, mert a játék 11 millió dolláros profitot termelt nekik 2010-ben.

Forrás: Index

Negatívszor negatív az pozitív?!

A tegnapi posztban írtuk, hogy a matematikus társadalom elég lassan szokta meg, és kezdte természetesen használni a negatív számok fogalmát. a XVII. századig szinte nem is használták, próbálták elkerülni, hogy a végeredménybe negatív szám, azaz nem is szám jöjjön ki.

Biztosan mindenki ismeri a magyarázó viccet, mikor a kisgyerek megkérdezi, hogy mi is a negatív szám, mire a tanárnő azt válaszolja, hogy "képzelj el egy buszt, amin hatan utaznak. Mi történik, ha leszáll, tíz ember? Fel kell még szállnia négynek, hogy ne legyen fent senki...."

De hát valóban, nehéz elképzelni, hogy mi is az a negatív valami. Vegyünk például 2 almát. Ha háromszor két almánk van, az egyértelműen hat alma. Még ha bevezetjük a "negatív alma" (vagy "mínusz alma") fogalmát, akkor is megmagyarázható vele, hogy háromszor 2 negatív alma az hat negatív alma, azaz mínusz hat alma. De mi történik mínusz háromszor mínusz két almával?! Miért lesz az hirtelen pozitív hat alma?!

De nézzük egy másik példát.

Jelölje a negatív szám a számegyenesen a nullától való távolságot. Kétszer három azt jelenti, hogy a 0-tól kezdve jobbra lépegetünk háromszor 2-t. -2*3 pedig hogy balra lépegetünk háromszor 2-t. De mit jelent, hogy -2*-3? Mi ugraszt minket át a 6-oshoz?

El is fogadhatnánk, hogy az ember szeretné, és a matematikus meg pláne, hogy az új számok ugyanúgy viselkedjenek, mint a régiek. Azaz ha összeadjuk, kivonjuk, szorozzuk őket, akkor még mindig egész számok maradjanak. Hogy teljesítsék a disztributivitás szabályát, azaz a(b+c)=ab+ac maradjon. Tehát igaz legyen, hogy 2(3+4)=(2*3)+(2*4). És szeretnénk, hogy mindez negatív számokra is teljesüljön. Ha kicseréljük a 2-t és 3-at -2-re és -3-ra, akkor a (-2)((-3)+4)=((-2)*(-3))+((-2)*4) csak akkor lesz igaz, ha negatív számok szorzata pozitív lesz. Ha marad negatív akkor nem lesz igaz az egyenlőség: (-2)=(-14).

Tehát mit csináljunk, ha (-n)-szer szorzunk meg valamit? Bontsuk két lépésre a folyamatot:

1. Szorozzuk meg a mennyiséget n-nel.


2. Alakítsuk át a mennyiséget az ellentettjére, azaz változtassuk meg az előjelét.

Tehát ha az előző számegyeneses példát nézzük, akkor lépegessünk háromszor balra 2-t, majd az eredményül kapott -6 előjelét változtassuk meg 6-ra. Ez itt elég boszorkányágnak tűnik, de más, életszerűbb példákon keresztül már nem lesz ilyen nyakatekert a dolog.

Legyen például, hogy egy ember minden nap 10000 Ft-ot veszít szerencsejátékon. A jövőt definiáljuk pozitívnak, a múltat pedig negatívnak. Három nap múlva 30 000-et veszít (2*-10 000= -30 000). De 3 nappal ezelőtt még 30 000-rel több pénze volt (-3*-10000=30000).

Vagy legyen egy kád, amibe a víz úgy áramlik be, hogy percenként 3 cm-rel nő a vízszint. A vízszint 2 perccel ezelőtt (-3)*(-2)=6 centiméterrel volt magasabb. Ha egy hangya nyugat felé halad 3 cm/s sebességgel, akkor 2 másodperccel ezelőtt (-3)*(-2)=6 centiméterre keletre volt a mostani pozíciójától.

Egy másik nagyon szellemes példát idéznék Roy Dubisch-tól. Képzeljünk el egy várost, ahol jó és rossz emberek élnek. Bármelyikük ki és bejárhat a városba. A városfalnál a kapuban pedig számon tartják, hogy éppen hogy álla város, milyen a közbiztonsága.
A jó embereket +-szal, a rosszakat - -szal jelöljük. A bejövetel +, a kimenetel-.  Elég egyértelmű, hogy ha jó ember megy be a városba az +, de ha ki megy onnan az - a városra nézve. De ha egy rossz ember akar bejönni a városba az - a városra nézve, de ha a rossz ember elhagyja a várost, az + a városra nézve. Tehát ha három pár rossz ember elhagyja a várost akkor 6 "ponttal" nő a városlakók biztonság érzete. Szerintem zseniális példa.

A blog szövege Martin Gardner Tiles to Trapdoor Ciphers könyvének Negative Numbers fejezetének laza fordítása saját megjegyzéseimmel tűzdelve.

A negatív számok története

Kezdetben hasonlóan, mint a kisgyerek nyelvtanulásánál, az alap fogalmak mellett elsőként alakultak ki a ma természetes számként hívott egy, kettő stb.. számok nevei. (Attól most kicsit tekintsünk el, hogy most éppen a természetes számok halmazába a nulla éppen beletartozik. Kezeljük a nullát most kicsit külön, speciális volta miatt.)



Még alapvetően a tört számok is elég érthetőek, mert a hétköznapi nyelvben is találkozunk azzal, hogy csak egy fél almát kérek, és mindenki érti ha a 24 gyerek harmada megbetegedik.
De mi a helyzet a negatív számokkal?! Annyira nem egyszerű a kérdésre a válasz, hogy a nyugati matematikusok egészen a XVII. századig hadilábon álltak a kérdéssel.

Az ókori görögök a számra úgy tekintettek, mint valami, amit ábrázolni is lehet. Így voltak tört számok és természetes számok, de nem volt se nulla, se negatív szám. Igazából Arisztotelész még az egyet se hívta számnak. Ő ezt csak mérési egységnek nevezte. Azért meg kell jegyezni, hogy -n-et értelmezték, csak nem hívták számnak....Tehát értették, mit jelent, hogy 8-2. Meg tudták oldani, hogy 2x+10=4, de inkább nem is írták le, mivel a végeredménye nem szám.
Az ie. VII. században az indiaiak és később a jól ismert Fibonacci is megengedte a negatív számokat, és úgy tekintettek rájuk pénzügyi számításokban, mint tartozások.
A kínaiaknál a Han periodusban (i.e-200-i.u.200) megjelent matematikai írásban, a Kilenc fejezet a matematika művészetéről (Jiu-zhang Suanshu) jelent meg először a negatív szám fogalma. Piros pálcikákkal jelezték a pozitív, és fekete pálcikákkal a negatív számokat. Ezt a jelölést később az írásban is megőrizték: piros és fekete betűkkel írták a pozitív ill. negatív számokat.

Ugorjunk egy nagyot az időben és térben. Descartes a negatív gyököket "hamis gyököknek" hívta. Pascal pedig értelmetlennek gondolta, hogy bármi szám lehet kisebb, mint nulla. Pascal barátja, Antoine Arnauld egyenesen be is bizonyította, a negatív számok létezésének ellentmondását:

-1/1=1/-1. Azaz egy kisebb szám osztva egy nagyobbal, ugyanannyi, mint egy nagyobb osztva egy kisebbel.

Ez az elég paradoxnak tűnő állítás foglalkoztatta a reneszánsz matematikusait. Leibniz egyetértett abban, hogy ezt az egészet elég nehéz feloldani, de azért megvédte a negatív számokat, mert azért helyes végeredményeket, számításokat lehetett velük végezni.

Néhányan, például az ismert John Wallis és a még ismertebb Leonard Euler a XVII és XVIII. századból, elfogadták ugyan a negatív számok létezését, de úgy gondolták, hogy a végtelennél nagyobbak. Miért?!

Mert a/0=végtelen. így ha 0-nál kisebb számmal osztjuk a-t, pl -100-zal, akkor a negatív szám, amit kapunk nem kellene, hogy meghaladja a végtelent, nem?!

Izgalmas kérdés.

Sokfajta jelölés volt használatban ezalatt a negatív számokra: aláhúzták, megpöttyözték őket. A XVI. században kezdték a német és holland matematikusok használni a + és - jeleket, ami szép lassan el is terjedt Európa szerte.
Legközelebb megnézzük, hogy mi is volt a bajuk a régi matematikusoknak a negatív számokkal, és megpróbáljuk feloldani ezeket az ellentmondásokat.


Forrás:Martin Gardner Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers könyvének Negative Numbers fejezete.

Kúpszeletek és a kosárlabda

Hogyan állítsuk elő a kúpszeletektet (azaz a kört, ellipszist, parabolát és hiperbolát) egy elemlámpa és egy kosárlabda segítségével?! Az alábbi képen a válasz:

UPDATE: a kép elveszett. Cserépbe egy magyarázó kép, és a kúpszeletek pohárból kivágva:

A képet Martin Gardner Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers könyvből fényképeztem ki.