Rezgések és illúziók

Ha egy harmonikus rezgés merőleges vetületét vizsgáljuk úgy, hogy megfelelően választjuk ki a periódusidőt, és a kezdősebességet, és a határfeltételeket, akkor .... valószínűleg már nem sok ember olvas tovább. Ezért inkább egy videót mutatok. Ugyanerről.

Feuerbach kör és a háromszög egyéb körei

Az előző bejegyzésekben már foglalkoztunk a talpponti háromszög körülírt körével. Már azt is be lehetett látni, hogy ezen a körön rajta van a háromszög összes oldalfelező pontja, és a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszának felezőpontja is. A kör középpontja pedig a magasságpontot (M) a körülírt kör középpontjával (O) összekötő szakasz felezőpontja. Azaz az M-ből a talpponti háromszöget kétszeresére nagyítva megkapjuk a körülírt kört. Tehát a vizsgált kör sugara éppen a körülírt kör sugarának fele. Ezt az izgalmas kört Feuerbach körnek hívják. Vagy hatpontú körnek. Vagy kilenc pont körének. Vagy tizenkét pont körének. Vagy n-pontú körnek.

Úgy tűnik a Feuerbach körnek mindennel van kapcsolata, kivéve a beírt és hozzáírt körökkel. És hol vannak még pontok? És miért pont a beírt kör maradt ki? Ez a diszkonfort érzést rögtön feloldhatjuk, mert a beírt kör sem kakukktojás. Sőt a hozzáírt kör sem. Ugyanis mindkettő érinti a Feuerbach kört. Előbbi belülről, utóbbiak kívülről. Bizonyítást ld később.

A háromszög nevezetes vonalai, körei és pontjai

Az alábbi Geogebra ábrában az a nagyszerű, hogy ha véletlenül túl szabályosat is rajzolt az ember, akkor könnyedén átmozgathatja. Ebben az ábrában már látszik az a szabályosság, ami bizonyításért kiált:
 
Bizonyíthatunk középpontos nagyítással, vagy esetleg vektorokkal is. Utóbbihoz felhasználnám Scharniczky Miklós egy letisztultabb GeoGebra szerkesztését:

Tanmese a kettős természetről

Gyenes Tanár úrtól kaptam vagy tíz éve egy kis papírkát, amin egy kis novella volt. Sajnos az eredetét, hogy hol jelent meg, nem tudom. De ez az a történet, ami után a legjobban el lehet képzelni az elképzelhetetlent : az anyag kettős természetét. 

Egyszer volt egy kétdimenziós világ. Ebben a világban sokszögek éltek és szigorú kasztrendszer uralkodott. Annál nemesebbnek számított valaki, minél több szöge volt. A hatalmat pedig a körök gyakorolták. Mivel féltették uralmukat, néhány fontos, de könnyen belátható szabályban foglalták össze felsőbbrendűségük ismérveit és annak következményeit:

• Minden hatalom a köröké, akik tökéletesek, tehát istenek.
• Mivel a körök istenek, mindig igazuk van.
• A körök szöglettelenek.
• Aki szögletes, az nem szöglettelen. 
• Aki szöglettelen, az nem szögletes.

Ezt a néhány szabályt az ország minden lakosa jól az agyába véste.  
Élt ebben az országban egy négyzet. Ez a négyzet egyszer elment sétálni a mezőre. Hát ahogy ott sétál, hirtelen hangot hall. Nem tudta megmondani, honnan jött a hang, úgy érezte, egyszerre mindenhonnan hallja, sőt tulajdon belsejéből is az szól.
– Én a harmadik dimenzióból jöttem – szólt a hang.
A négyzet hitetlenkedett.
– Nincs is harmadik dimenzió – mondta –, hisz hogy merre van, megmutatni senki sem tudja. – S ebben a pillanatban a semmiből hirtelen előtűnt közvetlenül a négyzet orra előtt egy téglalap.
– Mit keresel itt, hogy kerültél ide? – kérdezte a négyzet.
– Én jöttem a harmadik dimenzióból – szólalt meg a téglalap –, én szóltam hozzád előbb! 
A jövevény érezte, hogy nem hisznek neki, megsértődött és eltűnt. Ám a következő pillanatban egy kör jelent meg a négyzet előtt. A négyzet nagyon meglepődött, s nem értette, hogy kerül ide a semmiből egy ilyen fontos személyiség. De nem volt túl sok ideje tanakodni, mert a kör megszólalt: 
– Én vagyok a jövevény a harmadik dimenzióból, velem beszéltél az előbb, amikor téglalap voltam. 
– Ez lehetetlen – gondolta a négyzet, de kimondani nem merte, mivel aki szöglettelen, az kör, tehát isten és mindig igaza van. De a kör és a téglalap nem keverhető össze! A kettő nem lehet ugyanaz! Aki szögletes, az nem szöglettelen, aki szöglettelen, az nem szögletes.
– Én egyszerre vagyok mindkettő – mondta jövevény. – Én vagyok a henger. Három dimenziós test vagyok.

– Miért higgyek neki? – gondolta a négyzet. – Hisz csak egy négyszög, mint én, s amit mond, annak nincs semmi értelme. Kétségtelenül nem isten, tehát nem biztos, hogy igazat mond. Hiszen aki szögletes, az nem szöglettelen. 

– Ennek nincs értelme – gondolta a négyzet. – Mi az, hogy harmadik dimenzió és mi az, hogy test és henger? A szögletesség és szöglettelenség kizárják egymást. A hengert tehát lehetetlen elképzelni. Akkor pedig nincs. Mindjárt megőrülök! – gondolta, azzal hátat fordított a hengernek, és kétségbeesetten elrohant. 
A henger bosszúsan kiemelkedett a síkból, és tovalebbent.

Körmozgáshoz

Biztosan sokan tapasztalták már golyópálya vagy autópálya építésnél, hogy nem megfelelő sebességgel elindított autó vagy golyó képtelen körbemenni a hurkon. Kiszámolható a szükséges sebesség, az autósra ható nyomóerő. És ha már megvan a megfelelő sebesség, miért ne építenénk meg igazi autóhoz?! Hát volt, aki megépítette:

De ha már számítás, és körmozgás, akkor biztosan senkinek nem meglepő, ha a kanyarban bedőlő motorost lát, vagy ha nem a motor, akkor a pálya dől be...

A következő mutatvány pedig egyenesen félelmetes. Félelmetes az a könnyedség, holott az előzőekből láttuk, hogy sebesség az van.

És ez bár nem egyenletes körmozgás, hanem gyorsuló, de találtam egy egészen izgalmas videót, ahol Gécsek Tibor (Európa-bajnok, kilencszeres magyar bajnok kalapácsvető, aki először dobott 80 méter fölé) mesél a kalapácsvetésről. Egészen sok fizikával a háttérben, nyílt felhívásként, hogy utána számoljon az ember.