Valentin napra

Valentin nap, azaz szív minden mennyiségben. És bár nem hiszem, hogy ezt az ünnepet is át kellene vennünk, de a matematika a szív alakú görbékhez nagyon közel áll. Még van egy kis idő Valentin napig. Készüljünk fel rendese :)



Vagy ha valaki jobban szereti az egyenleteket, akkor álljon itt ez a már szerintem sokak által ismert levezetés:

 Vagy ha jobban szereti a koordináta geometriát, akkor néhány egyenlet a megoldásukkal:

 Illetve ha már függvények, akkor némi értelmezési tartomány megkötéssel írni is lehet velük:

Pitagorasz - újratöltve

A tapasztalható gif hullám magyarázata, hogy a blogjavítás miatt egy-egy érdekesebb gif, kép vagy videó feltöltésére nem volt időm, csak elmentettem egy könyvtárba. Most innen szemezgetek, és töltöm fel az eddig időhiány miatt feltorlódott anyagokat.

Például megdöbbentő, de úgy tűnik ez sem került ide még fel, pedig biztosan mutattam már meg gyerekeknek...

Feuerbach kör és a háromszög egyéb körei

Az előző bejegyzésekben már foglalkoztunk a talpponti háromszög körülírt körével. Már azt is be lehetett látni, hogy ezen a körön rajta van a háromszög összes oldalfelező pontja, és a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszának felezőpontja is. A kör középpontja pedig a magasságpontot (M) a körülírt kör középpontjával (O) összekötő szakasz felezőpontja. Azaz az M-ből a talpponti háromszöget kétszeresére nagyítva megkapjuk a körülírt kört. Tehát a vizsgált kör sugara éppen a körülírt kör sugarának fele. Ezt az izgalmas kört Feuerbach körnek hívják. Vagy hatpontú körnek. Vagy kilenc pont körének. Vagy tizenkét pont körének. Vagy n-pontú körnek.

Úgy tűnik a Feuerbach körnek mindennel van kapcsolata, kivéve a beírt és hozzáírt körökkel. És hol vannak még pontok? És miért pont a beírt kör maradt ki? Ez a diszkonfort érzést rögtön feloldhatjuk, mert a beírt kör sem kakukktojás. Sőt a hozzáírt kör sem. Ugyanis mindkettő érinti a Feuerbach kört. Előbbi belülről, utóbbiak kívülről. Bizonyítást ld később.

A talpponti háromszög

Nagyon sok érdekes dolog derül ki egy háromszög magasságvonalai és az oldal metszéspontjai által meghatározott talppontok által létrejött talpponti háromszögről.
Jó kísérletezgetést!

Matematika és művészet

Azaz a szimmetriák. Ez a matematika egyik azon területe, ami leginkább látványos. Amire nemcsak a matematikusok mondják, hogy szép.
A szimmetriák szépen megérthetőek M.C. Escher holland grafikus műveiből. De fontos szerepük van a szilárdtest fizikában, a kristályrácsok felépítésénél.
Van egy nagyon egyszerű, de annál szebb program, a KALI, amivel a megfelelő szimmetriacsoport kiválasztása után nagyon szép ábrákat tudunk rajzolni. Mostanában webes felületen terjedt el, de még fellelhető a gépre letölthető win95-ös változata. Utóbbi azért praktikus, mert ekkor nagyobb képernyőben nézhető, és ha jól emlékszem ki is nyomtatható az ábra.
És persze mind tetején ott van Penrose híres csempézése. Ami egybe se illik bele. Ami kapcsán Nobel díjat is osztogatnak. De erről majd egyszer máskor.

Kúpszeletek és a kosárlabda

Hogyan állítsuk elő a kúpszeletektet (azaz a kört, ellipszist, parabolát és hiperbolát) egy elemlámpa és egy kosárlabda segítségével?! Az alábbi képen a válasz:

UPDATE: a kép elveszett. Cserépbe egy magyarázó kép, és a kúpszeletek pohárból kivágva:

A képet Martin Gardner Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers könyvből fényképeztem ki.

Boldog Pi-napot!

Hajtogatósdi

A Canon oldalán szuper hajtogatós cuccokra lehet bukkanni. Az alulfinanszírozott fizikatanár megtalálhatja itt a Nap szerkezetét, a bolygónk modelljét, a Holdunkat, vagy akár rakétát is hajtogathatunk. De megtalálhatjuk a fiúk álmait is: a háromárbócostól a Mercedesig mindenfélét. Továbbá találhatunk egyszerű játékokat:  papírrepülőktől a pörgettyűkön át a csókolózó giccses babákig mindent. De akár egy teljes várost is felépíthetünk házakkal, utakkal, vonatsínnel...a képek ingyenesen letölthetőek, csak bírjuk a nyomtatást...

A matematika és a természet

Közel tíz perce próbálok valami bevezetőt írni a videóhoz, de nem megy. Annyira szép ez az animáció, hogy bármit írok, csak elrontom a hatását. Tessék csak megnézni, magáért beszél:

Gömbös játékok

Karácsonyra kaptam egy Rubik 's Brain Racker-t. Biztosan mindenki emlékszik azokra a tili-toli játékokra, amikor egy kis kocka hiányzott a 9-ből, és ki kellett rakni például a Vukot. Na ez ennek a gömbi megfelelője. Vicces, igencsak elszórakoztam vele, köszönöm!

De a minap a gyerekszoba.blog.hu-n összefutottam egy másik gömbös játékkal, egy gömbi puzzle-lel. Az Oblo gömbökkel. Több gömböt kell kirakni gömbhéjdarabokból, olyan matrjoska szerűen. Úgy tűnik a zöld külső héjon csak egy kis ablak van, amin keresztül kell bevarázsolni a kisebb gömb részeit. A videon nagyon egyszerűen kerülnek be a részek, de valószínűleg nem egyértelmű a dolog, vagy legalábbis remélem. Hát ez is igencsak elnyerte a tetszésemet.

A kézbe fogható gömbökről pedig rögtön eszembe jutott egy "barchoba-gömb", amit olyan két éve láttam egy játékboltban. Ez persze már nem abba a játék kategóriába esik, mint az előző kettő, de azért leírom. Hosszú perceket töltöttünk el ugyanis a játékbolt ezen részén, mert nem hittük el, hogy tényleg működik, de igen. A gömb 20 kérdést tesz fel neked, és a kijelző alatt vannak gombok, az "igen", "nem" , "nem tudom" és "néha" válaszoknak. A végén pedig megmondja, hogy mire gondoltál. Persze tudom, hogy az (alsó becslésként) 2²⁰ nagy szám, sok mindent le lehet fedni vele, de mégis olyan hihetetlennek érzem. (A hivatalos neve Radica 20Q Artificial Intelligence Game.)

És ha már gömb, akkor nem felejthetem ki a listáról Lénár István Gömbjét sem. Oda vagyok a gömbi geometriáért, a Lénárt Gömb "egyszerű,de nagyszerűségé"-ért, de mivel itt most játékokról van szó, ezért itt az online is játszható gömbi amőbáról írnék. Volt szerencsém egy pillanatát átélni annak a folyamatnak, amikor Lénárt István még csak gondolkodott az amőbán. A gondolatait akkor velem is megosztotta. szeretném hinni, hogy okos dolgokat válaszoltam neki, és valahol mélyen én is része vagyok ennek az egésznek (persze valószínűleg nem, de azért jó ezt gondolni ;) )
A játékszabályok ugyanazok, mint a szokásos amőbánál: egy sorban/főkör mentén 5 azonos színű pöttynek kell lennie. Persze az igazi, a gömbön játszott gömbi amőba, de jobb híján ez is megteszi.

Arkhimédészi pont

Orsi javasolta, hogy nézzük meg az alábbi kiállítást. Szerintem ha tudok, akkor elmegyek és megnézem, mert elég ígéretesen hangzik. Ez itt Csörgő Attila oldala, ahol kicsit ízelítőt kaphatunk az alkotásaiból. És ha valakit ez nem győzött meg, akkor álljon itt egy szöveg a Ludwig Múzeum honlapjáról:

2009. október 30. - 2010. január 24.

Csörgő Attila - Arkhimédészi pont

"Csörgő Attila a fiatal magyar művész-generáció egyik legismertebb, rangos nemzetközi kiállításokon, vásárokon szereplő képzőművésze. 1999-ben a Velencei Biennálé Magyar Pavilonjában képviselte hazánkat, 2001-ben Munkácsy-díjat kapott, 2003-ban az Isztanbuli Biennálén, 2008-ban a Sydney Biennálén szerepelt, Möbius-tér című munkájával pedig elnyerte az Európa egyik legjelentősebb médiaművészeti elismerésének számító Nam June Paik-díjat.

Munkáiban a művészet és a tudomány határterületeit kutatja, saját maga által tervezett, mérnöki pontossággal kivitelezett szerkezetekkel, fényképezőgépekkel, optikai gépezetekkel kísérletezik, amelyek egyaránt árulkodnak játékos, humoros és filozofikus gondolkodásmódjáról. Gyakran meglepő és szórakoztató kísérleteiben azon mozgások és jelenségek láthatóvá tétele és megalkotása érdekli, amelyek az emberi szem számára felfoghatatlanok. Tárgyai szinte geometriai törvények reprezentációi, amelyeket többnyire szokatlan helyzetekbe hozott, hétköznapi anyagokból, tárgyakból épít és barkácsol össze. Síkba kiterített térbeli tárgyai, vagy az emberi szemmel be nem fogható dimenziók bemutatása dinamikus és állóképszerű kettősségükkel rendkívül látványos művek. Kiállításain a kísérlet egyes fázisait éppúgy bemutatja, mint annak gondolati hátterét, törekedve arra, hogy néző és mű között megteremtse a befogadáshoz szükséges értelmezés lehetőségét.

Az elmúlt több mint egy évtizedben Csörgő Attilának sikerült fölépítenie egy egyedi és minden elemében saját világot. A Ludwig Múzeum – Kortárs Művészeti Múzeum kiállítása művészetének eddigi legátfogóbb, retrospektív jellegű bemutatását tervezi, amelyen a hazai és nemzetközi köz- és magángyűjteményekben található műveinek jelentős része együtt lesz látható."

Az Internetről hiányzó kép

Kerestem a neten, de nem találtam háromszög alakban meglékelt dinnyét. Egyáltalán lékelt és nem szeletekre vágott dinnye is alig van. Kiderült, hogy a lékelés már nem EU-kompatibilis, de hát azért arra számítottam, hogy ez nem akadályozza meg a fényképezőket. Se magyarul, se angolul, mindenféle szavakra keresve sem találtam. Persze ha valaki talált, szívesen veszem a linket...

Így most pótolom ezt a hiányt, és felrakok egy képet, ami bár kissé photoshoppolt, de azt ábrázolja, amit eddig soha senki nem rakott fel: háromszög alakban meglékelt dinnyét.

És persze felmerülhet a kérdés, hogy minek kell nekem ilyen nagyon egy ilyen kép? Gömbi geometriából tartottam két foglalkozást Tatán, aminek az anyagát most papírra vetem. A képen látható alakzat egy olyan gömbi háromszög, amit hívhatunk nyugodtan konkáv háromszögnek is. Ugyanis a dinnye héja által meghatározott háromszög belső szögei 180°-nál nagyobbak, szögösszege pedig ezért biztosan több, mint 540°, de kisebb, mint 900°. Szép lett, ugye?