Egy kis esti kvantummechanika

A National Geographic készített egy látványos, mindenki számára érthető kis filmet a kvantummechanikáról. Érdeklődők figyelmébe ajánlom:

Feuerbach kör és a háromszög egyéb körei

Az előző bejegyzésekben már foglalkoztunk a talpponti háromszög körülírt körével. Már azt is be lehetett látni, hogy ezen a körön rajta van a háromszög összes oldalfelező pontja, és a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszának felezőpontja is. A kör középpontja pedig a magasságpontot (M) a körülírt kör középpontjával (O) összekötő szakasz felezőpontja. Azaz az M-ből a talpponti háromszöget kétszeresére nagyítva megkapjuk a körülírt kört. Tehát a vizsgált kör sugara éppen a körülírt kör sugarának fele. Ezt az izgalmas kört Feuerbach körnek hívják. Vagy hatpontú körnek. Vagy kilenc pont körének. Vagy tizenkét pont körének. Vagy n-pontú körnek.

Úgy tűnik a Feuerbach körnek mindennel van kapcsolata, kivéve a beírt és hozzáírt körökkel. És hol vannak még pontok? És miért pont a beírt kör maradt ki? Ez a diszkonfort érzést rögtön feloldhatjuk, mert a beírt kör sem kakukktojás. Sőt a hozzáírt kör sem. Ugyanis mindkettő érinti a Feuerbach kört. Előbbi belülről, utóbbiak kívülről. Bizonyítást ld később.

Történelmi pillanat!

2004. március 4-én lőtte fel az ESA a Rosettát, 2014 augusztus 6-án érkezett meg az üstököshöz, azóta körülötte kering, és készítik elő a leszállást. És ma, 2014. november 12-én, közép-európai idő szerint délután 5 órakor ez sikeresen meg is történt! És most drukkoljunk, hogy a lehető legtöbb adatot tudja a szonda kinyerni!
Élő közvetítés itt, twitter itt, és itt van minden a Rosettáról, például, hogy mikor hol van/lesz?
Itt pedig egy animáció a leszállásról:

Egy jó demonstráció a leszállás nehézségeit demonstráló Alexander Gersttől:

A háromszög nevezetes vonalai, körei és pontjai

Az alábbi Geogebra ábrában az a nagyszerű, hogy ha véletlenül túl szabályosat is rajzolt az ember, akkor könnyedén átmozgathatja. Ebben az ábrában már látszik az a szabályosság, ami bizonyításért kiált:
 
Bizonyíthatunk középpontos nagyítással, vagy esetleg vektorokkal is. Utóbbihoz felhasználnám Scharniczky Miklós egy letisztultabb GeoGebra szerkesztését:

A talpponti háromszög

Nagyon sok érdekes dolog derül ki egy háromszög magasságvonalai és az oldal metszéspontjai által meghatározott talppontok által létrejött talpponti háromszögről.
Jó kísérletezgetést!

Láthatatlan kísérlet

Néhány lencse segítségével sikerül nem láthatóvá tenni tárgyakat. A módszer annyiból áll, hogy a fókuszpont körül helyezzük el a tárgyat. Így a fókuszált fény kvázi kikerüli azt, amit nem szeretnénk, hogy lássanak mások. Egy érthetőbb videó a dologról:

Tanmese a kettős természetről

Gyenes Tanár úrtól kaptam vagy tíz éve egy kis papírkát, amin egy kis novella volt. Sajnos az eredetét, hogy hol jelent meg, nem tudom. De ez az a történet, ami után a legjobban el lehet képzelni az elképzelhetetlent : az anyag kettős természetét. 

Egyszer volt egy kétdimenziós világ. Ebben a világban sokszögek éltek és szigorú kasztrendszer uralkodott. Annál nemesebbnek számított valaki, minél több szöge volt. A hatalmat pedig a körök gyakorolták. Mivel féltették uralmukat, néhány fontos, de könnyen belátható szabályban foglalták össze felsőbbrendűségük ismérveit és annak következményeit:

• Minden hatalom a köröké, akik tökéletesek, tehát istenek.
• Mivel a körök istenek, mindig igazuk van.
• A körök szöglettelenek.
• Aki szögletes, az nem szöglettelen. 
• Aki szöglettelen, az nem szögletes.

Ezt a néhány szabályt az ország minden lakosa jól az agyába véste.  
Élt ebben az országban egy négyzet. Ez a négyzet egyszer elment sétálni a mezőre. Hát ahogy ott sétál, hirtelen hangot hall. Nem tudta megmondani, honnan jött a hang, úgy érezte, egyszerre mindenhonnan hallja, sőt tulajdon belsejéből is az szól.
– Én a harmadik dimenzióból jöttem – szólt a hang.
A négyzet hitetlenkedett.
– Nincs is harmadik dimenzió – mondta –, hisz hogy merre van, megmutatni senki sem tudja. – S ebben a pillanatban a semmiből hirtelen előtűnt közvetlenül a négyzet orra előtt egy téglalap.
– Mit keresel itt, hogy kerültél ide? – kérdezte a négyzet.
– Én jöttem a harmadik dimenzióból – szólalt meg a téglalap –, én szóltam hozzád előbb! 
A jövevény érezte, hogy nem hisznek neki, megsértődött és eltűnt. Ám a következő pillanatban egy kör jelent meg a négyzet előtt. A négyzet nagyon meglepődött, s nem értette, hogy kerül ide a semmiből egy ilyen fontos személyiség. De nem volt túl sok ideje tanakodni, mert a kör megszólalt: 
– Én vagyok a jövevény a harmadik dimenzióból, velem beszéltél az előbb, amikor téglalap voltam. 
– Ez lehetetlen – gondolta a négyzet, de kimondani nem merte, mivel aki szöglettelen, az kör, tehát isten és mindig igaza van. De a kör és a téglalap nem keverhető össze! A kettő nem lehet ugyanaz! Aki szögletes, az nem szöglettelen, aki szöglettelen, az nem szögletes.
– Én egyszerre vagyok mindkettő – mondta jövevény. – Én vagyok a henger. Három dimenziós test vagyok.

– Miért higgyek neki? – gondolta a négyzet. – Hisz csak egy négyszög, mint én, s amit mond, annak nincs semmi értelme. Kétségtelenül nem isten, tehát nem biztos, hogy igazat mond. Hiszen aki szögletes, az nem szöglettelen. 

– Ennek nincs értelme – gondolta a négyzet. – Mi az, hogy harmadik dimenzió és mi az, hogy test és henger? A szögletesség és szöglettelenség kizárják egymást. A hengert tehát lehetetlen elképzelni. Akkor pedig nincs. Mindjárt megőrülök! – gondolta, azzal hátat fordított a hengernek, és kétségbeesetten elrohant. 
A henger bosszúsan kiemelkedett a síkból, és tovalebbent.